Irreversible Markov-chains for particle systems and spin models: Mixing and dynamical scaling

Chaînes de Markov irréversibles pour les systèmes de particules et les modèles de spin: mélange et mise à l'échelle dynamique

Ze Lei (1)

1 LPS - Laboratoire de Physique Statistique de l'ENS

This thesis studies the irreversible Markov chain in the spin systems and particle systems, theoretically explains their dynamical specialties, proposes an improvement to the Monte Carlo methods with respect to the systematic properties. The first two chapters review the probability theory, Markov chain and Monte Carlo method. The irreversible Markov chain, with the “lifting” scheme and factorized Metropolis filter, increases the mixing speed at a higher scale in many models. The third chapter studies the hard sphere model. From the exact result obtained from the one-dimensional model in the continuous limit, the “event-chain” algorithm is related to the coupon-collector problem, in the evaluation of mixing time. A sequential “event-chain” algorithm is proposed to accelerate the mixing process, which is also valid in more general cases of higher dimensions. For more general Metropolis algorithms with “lifting”, their crossover with the “event-chain” algorithm is discussed. The fourth chapter presents the dynamics of the irreversible Markov-chain for continuous spin models using Metropolis filter, in the presence of topological excitations. The local nature of the Markov-chain dynamics leads to a slow vortex mode and a fast spin-wave mode in the XY model. The equilibrium correlation varies from z~2 at the critical temperature to z~0 at the low temperature limit, and the respective influence on three-dimensional Heisenberg model is also described. The fifth chapter, based on the knowledge of the previous two chapters, proposes an optimization of Metropolis filter for general particle models, by introducing an auxiliary field. Simulations on one dimensional Lennard-Jones chain exhibit an obvious acceleration as the spin-wave mode. Further studies verify a super-diffusive behavior of the “event-chain” algorithm, which may explain the high speed of the dynamics.

Cette thèse étudie la chaîne de Markov irréversible dans les systèmes de spin et les systèmes de particules, explique théoriquement leurs spécialités dynamiques, propose une amélioration des méthodes de Monte Carlo en ce qui concerne les propriétés systématiques. Les deux premiers chapitres examinent la théorie des probabilités, la chaîne de Markov et la méthode de Monte Carlo. La chaîne de Markov irréversible, avec le schéma de «lifting» et le filtre Metropolis factorisé, augmente la vitesse de mélange à une échelle supérieure dans de nombreux modèles. Le troisième chapitre étudie le modèle de la sphère dure. À partir du résultat exact obtenu à partir du modèle unidimensionnel dans la limite continue, l’algorithme de «event-chain» est lié au problème du collecteur de coupons dans l’évaluation du temps de mélange. Un algorithme séquentiel de «event-chain» est proposé pour accélérer le processus de mélange, ce qui est également valable dans les cas plus généraux de dimensions supérieures. Pour les algorithmes Metropolis plus généraux avec «lifting», leur croisement avec l’algorithme de «event-chain» est discuté. Le quatrième chapitre présente la dynamique de la chaîne de Markov irréversible pour les modèles de spin continu utilisant le filtre de Metropolis, en présence d’excitations topologiques. La nature locale de la dynamique de la chaîne de Markov conduit à un mode lent de vortex et à un mode rapide d’onde de spin dans le modèle XY. La corrélation à l’équilibre est quantifiée pour varier de z ~ 2 à la température critique à z ~ 0 à la limite de basse température, et l’influence respective sur le modèle tridimensionnel de Heisenberg est également décrite. Le cinquième chapitre, basé sur la connaissance des deux chapitres précédents, propose une optimization du filtre de Metropolis pour les modèles de particules généraux, en introduisant un champ auxiliaire. Les simulations sur une chaîne unidimensionnelle de Lennard-Jones montrent une accélération évidente en tant que mode de spin-wave. D’autres études vérifient le comportement super-diffusif de l’algorithme de «event-chain», ce qui peut expliquer la vitesse haute de la dynamique.

Mots clés: Monte Carlo method; Irreversible Markov chain; XY model; Topological excitations; Hard-disk model; Lennard-Jones model

Mots clés: Méthode de Monte Carlo; Chaîne de Markov irréversible; Modèle XY; Excitations topologiques; Modèle des disques durs; Modèle de Lennard-Jones

Domaines: Mécanique statistique [cond-mat.stat-mech]; Physique [physics]

Ze Lei. Irreversible Markov-chains for particle systems and spin models: Mixing and dynamical scaling. Statistical Mechanics [cond-mat.stat-mech]. PSL Research University; Ecole Normale Superieure de Paris - ENS Paris, 2018. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03351829v1⟩