Mathematical Modeling and Optimization for Biogas Production
Modélisation Mathématiques et Optimisation pour la Production de Biogas
Résumé
Anaerobic digestion is a biological process in which organic compounds are degraded by different microbial populations into biogas (carbon dioxyde and methane), which can be used as a renewable energy source. This thesis works towards developing control strategies and bioreactor designs that maximize biogas production.The first part focuses on the optimal control problem of maximizing biogas production in a chemostat in several directions. We consider the single reaction model and the dilution rate is the controlled variable.For the finite horizon problem, we study feedback controllers similar to those used in practice and consisting in driving the reactor towards a given substrate level and maintaining it there. Our approach relies on establishing bounds of the unknown value function by considering different rewards for which the optimal solution has an explicit optimal feedback that is time-independent. In particular, this technique provides explicit bounds on the sub-optimality of the studied controllers for a broad class of substrate and biomass dependent growth rate functions. With numerical simulations, we show that the choice of the best feedback depends on the time horizon and initial condition.Next, we consider the problem over an infinite horizon, for averaged and discounted rewards. We show that, when the discount rate goes to 0, the value function of the discounted problem converges and that the limit is equal to the value function for the averaged reward. We identify a set of optimal solutions for the limit and averaged problems as the controls that drive the system towards a state that maximizes the biogas flow rate on an special invariant set.We then return to the problem over a fixed finite horizon and with the Pontryagin Maximum Principle, we show that the optimal control has a bang singular arc structure. We construct a one parameter family of extremal controls that depend on the constant value of the Hamiltonian. Using the Hamilton-Jacobi-Bellman equation, we identify the optimal control as the extremal associated with the value of the Hamiltonian which satisfies a fixed point equation. We then propose a numerical algorithm to compute the optimal control by solving this fixed point equation. We illustrate this method with the two major types of growth functions of Monod and Haldane.In the second part, we investigate the impact of mixing the reacting medium on biogas production. For this we introduce a model of a pilot scale upflow fixed bed bioreactor that offers a representation of spatial features. This model takes advantage of reactor geometry to reduce the spatial dimension of the section containing the fixed bed and in other sections, we consider the 3D steady-state Navier-Stokes equations for the fluid dynamics. To represent the biological activity, we use a 2 step model and for the substrates, advection-diffusion-reaction equations. We only consider the biomasses that are attached in the fixed bed section and we model their growth with a density dependent function. We show that this model can reproduce the spatial gradient of experimental data and helps to better understand the internal dynamics of the reactor. In particular, numerical simulations indicate that with less mixing, the reactor is more efficient, removing more organic matter and producing more biogas.
La digestion anaérobique est un processus biologique au cours duquel des micro-organismes décomposent de la matière organique pour produire du biogaz (dioxyde de carbone et methane) qui peut être utilisé comme source d'énergie renouvelable. Cette thèse porte sur l'élaboration de stratégies de contrôle et la conception de bioréacteurs qui maximisent la production de biogaz.La première partie se concentre sur le problème de contrôle optimal de la maximisation de la production de biogaz dans un chemostat avec un modèle à une réaction, en contrôlant le taux de dilution. Pour le problème à horizon fini, nous étudions des commandes type feedback, similaires à ceux utilisés en pratique et consistant à conduire le réacteur vers un niveau de substrat donné et à le maintenir à ce niveau. Notre approche repose sur une estimation de la fonction de valeur inconnue en considérant différentes fonctions de coût pour lesquelles la solution optimale admet un feedback optimal explicite et autonome. En particulier, cette technique fournit une estimation de la sous-optimalité des régulateurs étudiés pour une large classe de fonctions de croissance dépendant du substrat et de la biomasse. À l'aide de simulations numériques, on montre que le choix du meilleur feedback dépend de l'horizon de temps et de la condition initiale.Ensuite, nous examinons le problème sur un horizon infini, pour les coûts moyen et actualisé. On montre que lorsque le taux d'actualisation tends vers à 0, la fonction de valeur du problème actualisé converge vers la fonction de valeur pour le coût moyen. On identifie un ensemble de solutions optimales pour le problème de limite et avec coût moyen comme étant les contrôles qui conduisent le système vers un état qui maximise le débit de biogaz sur un ensemble invariant.Nous revenons ensuite au problème sur à horizon fini fixe et avec le Principe du Maximum de Pontryagin, on montre que le contrôle optimal à une structure bang arc singulier. On construit une famille de contrôles extremal qui dépendent de la valeur constante du Hamiltonien. En utilisant l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman, on identifie le contrôle optimal comme étant celui associé à la valeur du Hamiltonien qui satisfait une équation de point fixe. On propose ensuite un algorithme pour calculer la commande optimale en résolvant cette équation de point fixe. On illustre enfin cette méthode avec les deux principales types de fonctions de croissance de Monod et Haldane.Dans la deuxième partie, on modélise et on étudie l'impact de l'hétérogénéité du milieu réactionnel sur la production de biogaz. Pour cela, on introduit un modèle de bioréacteur pilote qui décrit les caractéristiques spatiales. Ce modèle tire parti de la géométrie du réacteur pour réduire la dimension spatiale de la section contenant un lit fixe et, dans les autres sections, on considère les équations 3D de Navier-Stokes en régime permanent pour la dynamique des fluides. Pour représenter l'activité biologique, on utilise un modèle à deux réactions et pour les substrats, des équations advection-diffusion-réaction. On considère seulement les biomasses qui sont attachées au lit fixe et on modélise leur croissance avec une fonction densité dépendante. On montre que ce modèle peut reproduire le gradient spatial de données expérimentales et permet de mieux comprendre la dynamique interne du réacteur. En particulier, les simulations numériques indiquent qu'en mélangeant moins, le réacteur est plus efficace, élimine plus de matières organiques et produit plus de biogaz.
Domaines
Mathématiques générales [math.GM]
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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